Correzione quantistica all’energia libera

Michele Andreoli

Viene dedotto il primo termine dello sviluppo in serie di potenze di h della funzione F di Helmholtz per un’hamiltoniana quadratica, facendo uso di un metodo alternativo. FUNZIONE DI RIPARTIZIONE Z E’ noto che quantità del tipo:

               ∞         ∫
Z = Tr[e-βH]=    e-βEn =   dx ⟨x|e-βH |x ⟩
              n∑=0            0  0      0

possono essere approssimate sostituendo le somme sugli stati quantici con somme su funzioni ordinarie x(t). In questa nota si calcolerà la prima correzione quantistica (ordine ∕h2), ma con una tecnica piÃ^1 semplice di quella usata da Landau[? ] . In pratica si sostituisce l’operatore hamiltoniano H con una media integrale dell’ “energia meccanica”:

      ∫               ∫
     1- τ           1-  τ1-  2  1-  2 2
H ⇒  τ 0 E [x(t)]dτ = τ  0 2m _x + 2m ω x dτ

presa su in un tempo τ caratteristico delle fluttuazioni quantiche (vedi in seguito) e si somma sulle orbite classiche “chiuse” x(t). Queste funzioni possono essere scritte come somma di due parti:

x(t)= x (t)+ y(t)
       0

x0(t) è la parte “stazionaria”, soluzione dell’equazione δH = 0 con le condizioni al contorno x(0) = x(τ) = x0, mentre y(t) è la “fluttuazione”, nulla agli estremi nell’intervallo [0], e che scriveremo sviluppata in termini di un sistema di funzioni periodiche, ortogonali in norma L2:

                      ( nπ⋅t)
y(t)= ∑n yn(t)= ∑n an⋅sin   τ
con  y(0) = y(τ) = 0

Con questa assunzione, Z si scrive in forma di path integral in questo modo:

    ∫            1∫τ
Z =   dx0Dx(t)e-β τ0 E[x(t)]dτ

I gradi di libertà x0(t) e yn(t) disaccoppiano, per cui Z fattorizza in due parti:

               ∫       --     ∫
Z = ZclassZflutt =  dx0e-βE0(x0)∏   dan ⋅e- βϵn[an]
                            n

dove E0(x0) è il valore medio dell’energia per la traiettoria x0(t), ed ϵn[an] è il contributo della fluttuazione yn . Dato che a noi serve soltanto il rapporto:

      Z(ω)
Zint = -----= 1+ a ⋅ω2+ bω4 _+ ...
      Z(0)

calcoleremo i vari funzionali a meno delle tipiche costanti moltiplicative, formalmente divergenti, generate dagli integrali di tipo gaussiano. CONTRIBUTO Zclass Annullando la variazione di H = E[x]:

     1 ∫ τ          2
δH = τ-   (- m ¨x+ mω x)δ xdτ = 0
        0

ed essendo δx arbitrario, si ha :

     2
¨x= ω  x

Ponendo:

x0(t)= A ⋅cosh(ωt )+ B⋅sinh(ωt )

e determinando A e B con le condizioni al contorno x(0) = x(τ) = x0 , si ottiene la soluzione:

                                 (ω-τ)
x0(t) = x0⋅(cosh(ωt) - sinh(ωt)⋅tanh  2  )

cui corrisponde l’energia media:

          ∫                    (  )
--      1- τ       m-⋅ω-⋅x20⋅tanh-ωτ2--  1-   2  2     1--   2
E0(x0)= τ  0 Edτ =        τ         = 2m ⋅ω ⋅x0⋅(1 - 12(ωτ) +...)

L’integrale su x0 è di tipo gaussiano[? ] per cui, a meno di costanti moltiplicative, avremo:

       ∫       --     (       (   ))  1
Zclass =  dx0e-βE0(x0) ~ ω ⋅tanh ω-τ   -2
                                2

CONTRIBUTO Zflutt Per calcoltare Zflutt occorre inserire le y(t) nell’espressione 12m2 +122x2ed effettuare le medie dei termini quadratici ottenuti, parte cinetica e parte potenziale. Tenendo conto dell’ortogonalità delle funzioni sin(   )
 nπτ⋅t e sfruttando il fatto che il valore medio su un periodo del quadrati del seno e del coseno sono entrambi uguali a 1
2, si ottiene facilmente:

         1         n2π 2
∑ ϵn ~ ∑ -a2n ⋅(ω2 + --2- )
 n     n 2          τ

Gli integrali su ansono tutti gaussiani, per cui:

         ∫                  (      2  2)- 12
Zflutt =     dan ⋅e-βϵn[an] ~    ω2 + n-π-
       ∏n                 ∏n        τ2

Fattorizzando la parte divergente della produttoria, scriviamo:

   (          )      (     )   (          )     (     )
      2   n2π-2        n2π-2         -ω2τ-2        n2π-2  sinh(ω-τ)
∏    ω +  τ2    = ∏    τ2    ∏   1+ n2π2    = ∏    τ2   ⋅   ωτ
 n                 n         n                n

e quindi:

       (         )- 1
Z    ~   sinh(ωτ-)   2 ~ 1--1-(ωτ)2...
 flutt      ω τ            12

LA FUNZIONE F Mettendo insieme le due parti si ha, a meno di una costante:

   [(       (   ) )(         )] - 12
Z~    ω ⋅tanh  ωτ-    sinh(ω-τ)     ~ ----1(--)
              2        ω τ          sinh ωτ2

e quindi:

            (                ) -1
Z  = Z-(ω-)=   1+ -1-(ω τ)2+ ...   = 1- -1-(ω τ)2+...
 int   Z(0)       24                   24

Essendo Z = exp(- β F), correzione ad F si ricava da:

Zint = e-βFint = 1- β ⋅Fint+ ...

, e quindi Fint = 124β-(ωτ)2. Come tempo caratteristico τ prendiamo il piÃ^1 piccolo compatibile con la relazione di indeterminazione δEδt ∕h
2 con δE = kT
 2 e quindi:

τ = β ⋅∕h

. Con questo valore di τ, si ha:

Fint =-1--(ωτ)2 = 1-βω2 ∕h2
      24β         24

Nel caso di potenziali non quadratici, l’espressione trovata dovrebbe fornire una buona approssimazione se si sostitusce 2 con il valore medio di U′′(x), per cui:

      1   2 1   ′′
Fint = 24-β∕h m-⋅⟨U (x)⟩

(vedi Landau V5, pag 121). STATO FONDAMENDALE Se T 0, e quindi β →∞, nella somma Z = n=0e-βEn sopravvive solo il termine di energia piÃ^1 bassa Z ~ e-βE0 e questo fatto puÃ^2 essere sfruttato per determinare sia E0, sia il fattore di normalizzazione di Z. Detta A una costante moltiplicativa, scriviamo la nostra Z in questo modo:

        A
Z = ---(-β∕hω)-
    sinh  -2-

Essendo sinh(x) = x  -x
e-e2--, per β →∞ otteniamo:

           β∕hω-
Z ≈ 2⋅A⋅e-  2

per cui A = 12 ed E0 = ∕hω
-2, in accordo con il noto valore dell’energia fondamentale dell’oscillatore: In conclusione, per la funzione di ripartizione dell’oscillatore Z si ha:

Z = -----1(----)
    2 ⋅sinh β∕hω
            2
(C) M. Andreoli