Correzione quantistica all’energia libera

Funzione di ripartizione Z

E’ noto che quantità del tipo:


$$Z=Tr[e^{-\beta H}]=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta E_{n}}=\int dx_{0}\langle x_{0}|e^{-\beta H}|x_{0}\rangle$$

possono essere approssimate sostituendo le somme sugli stati quantici con somme su funzioni ordinarie x(t).

In questa nota si calcolerà la prima correzione quantistica (ordine 2), ma con una tecnica più semplice di quella usata da Landau1 .

In pratica si sostituisce l’operatore hamiltoniano H con una media integrale dell’ “energia meccanica”:


$$H\Rightarrow\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}E[x(t)]d\tau=\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}d\tau$$

presa su in un tempo τ caratteristico delle fluttuazioni quantiche (vedi in seguito) e si somma sulle orbite classiche “chiuse” x(t).

Queste funzioni possono essere scritte come somma di due parti:


x(t)=x0(t)+y(t)

x0(t) è la parte “stazionaria”, soluzione dell’equazione δH = 0 con le condizioni al contorno x(0)=x(τ)=x0, mentre y(t) è la “fluttuazione”, nulla agli estremi nell’intervallo [0, τ], e che scriveremo sviluppata in termini di un sistema di funzioni periodiche, ortogonali in norma L2:


$$\begin{aligned} y(t) & = & \sum_{n}y_{n}(t)=\sum_{n}a_{n}\cdot\sin(\frac{n\pi\cdot t}{\tau})\\ con & & y(0)=y(\tau)=0\end{aligned}$$

Con questa assunzione, Z si scrive in forma di path integral in questo modo:


$$Z=\int dx_{0}Dx(t)e^{-\beta\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}E[x(t)]d\tau}$$

I gradi di libertà x0(t) e yn(t) disaccoppiano, per cui Z fattorizza in due parti:


$$Z=Z_{class}Z_{flutt}=\int dx_{0}e^{-\beta\overline{E_{0}}(x_{0})}\prod_{n}\int da_{n}\cdot e^{-\beta\epsilon_{n}[a_{n}]}$$

dove $\overline{E_{0}}(x_{0})$ è il valore medio dell’energia per la traiettoria x0(t), ed ϵn[an] è il contributo della fluttuazione yn .

Dato che a noi serve soltanto il rapporto:


$$Z_{int}=\frac{Z(\omega)}{Z(0)}=1+a\cdot\omega^{2}+b\dot{\omega^{4}+\ldots}$$

calcoleremo i vari funzionali a meno delle tipiche costanti moltiplicative, formalmente divergenti, generate dagli integrali di tipo gaussiano.

Contributo Zclass

Annullando la variazione di H = ⟨E[x]⟩:


$$\delta H=\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}(-m\ddot{x}+m\omega^{2}x)\delta xd\tau=0$$

ed essendo δx arbitrario, si ha :


$$\ddot{x}=\omega^{2}x$$

Ponendo:


x0(t)=A ⋅ cosh(ωt)+B ⋅ sinh(ωt)

e determinando A e B con le condizioni al contorno x(0)=x(τ)=x0 , si ottiene la soluzione:


$$x_{0}(t)=x_{0}\cdot(\cosh(\omega t)-\sinh(\omega t)\cdot\tanh(\frac{\omega\tau}{2}))$$

cui corrisponde l’energia media:


$$\overline{E}_{0}(x_{0})=\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}Ed\tau=\frac{m\cdot\omega\cdot x_{0}^{2}\cdot\tanh(\frac{\omega\tau}{2})}{\tau}=\frac{1}{2}m\cdot\omega^{2}\cdot x_{0}^{2}\cdot(1-\frac{1}{12}(\omega\tau)^{2}+\ldots)$$

L’integrale su x0 è di tipo gaussiano2 per cui, a meno di costanti moltiplicative, avremo:


$$Z_{class}=\int dx_{0}e^{-\beta\overline{E_{0}}(x_{0})}\sim\left(\omega\cdot\tanh(\frac{\omega\tau}{2})\right)^{-\frac{1}{2}}$$

Contributo Zflutt

Per calcoltare Zflutt occorre inserire le y(t) nell’espressione $\langle\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\rangle$ ed effettuare le medie dei termini quadratici ottenuti, parte cinetica e parte potenziale. Tenendo conto dell’ortogonalità delle funzioni $\sin(\frac{n\pi\cdot t}{\tau})$ e sfruttando il fatto che il valore medio su un periodo del quadrati del seno e del coseno sono entrambi uguali a $\frac{1}{2}$, si ottiene facilmente:


$$\sum_{n}\epsilon_{n}\sim\sum_{n}\frac{1}{2}a_{n}^{2}\cdot(\omega^{2}+\frac{n^{2}\pi}{\tau^{2}}^{2})$$

Gli integrali su ansono tutti gaussiani, per cui:


$$Z_{flutt}=\prod_{n}\int da_{n}\cdot e^{-\beta\epsilon_{n}[a_{n}]}\sim\prod_{n}\left(\omega^{2}+\frac{n^{2}\pi}{\tau^{2}}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$$

Fattorizzando la parte divergente della produttoria, scriviamo:


$$\prod_{n}\left(\omega^{2}+\frac{n^{2}\pi}{\tau^{2}}^{2}\right)=\prod_{n}\left(\frac{n^{2}\pi}{\tau^{2}}^{2}\right)\prod_{n}\left(1+\frac{\omega^{2}\tau}{n^{2}\pi^{2}}^{2}\right)=\prod_{n}\left(\frac{n^{2}\pi}{\tau^{2}}^{2}\right)\cdot\frac{\sinh(\omega\tau)}{\omega\tau}$$

e quindi:


$$Z_{flutt}\sim\left(\frac{\sinh(\omega\tau)}{\omega\tau}\right)^{-\frac{1}{2}}\sim1-\frac{1}{12}(\omega\tau)^{2}\ldots$$

La funzione F

Mettendo insieme le due parti si ha, a meno di una costante:


$$Z\sim\left[\left(\omega\cdot\tanh(\frac{\omega\tau}{2})\right)\left(\frac{\sinh(\omega\tau)}{\omega\tau}\right)\right]^{-\frac{1}{2}}\sim\frac{1}{\sinh(\frac{\omega\tau}{2})}$$

e quindi:


$$Z_{int}=\frac{Z(\omega)}{Z(0)}=\left(1+\frac{1}{24}(\omega\tau)^{2}+\ldots\right)^{-1}=1-\frac{1}{24}(\omega\tau)^{2}+\ldots$$

Essendo Z = exp(−βF), correzione ad F si ricava da:


Zint = eβFint = 1 − β ⋅ Fint + …
,

e quindi $F_{int}=\frac{1}{24\beta}(\omega\tau)^{2}$.

Come tempo caratteristico τ prendiamo il più piccolo compatibile con la relazione di indeterminazione $\delta E\delta t\geq\frac{\hslash}{2}$ con $\delta E=\frac{kT}{2}$ e quindi:


τ = β ⋅ ℏ
.

Con questo valore di τ, si ha:


$$F_{int}=\frac{1}{24\beta}(\omega\tau)^{2}=\frac{1}{24}\beta\omega^{2}\hslash^{2}$$

Nel caso di potenziali non quadratici, l’espressione trovata dovrebbe fornire una buona approssimazione se si sostitusce mω2 con il valore medio di U″(x), per cui:


$$F_{int}=\frac{1}{24}\beta\hslash^{2}\frac{1}{m}\cdot\langle U''(x)\rangle$$

(vedi Landau V5, pag 121).

Stato fondamendale

Se T → 0, e quindi β → ∞, nella somma $Z=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta E_{n}}$ sopravvive solo il termine di energia più bassa Z ∼ eβE0 e questo fatto può essere sfruttato per determinare sia E0, sia il fattore di normalizzazione di Z.

Detta A una costante moltiplicativa, scriviamo la nostra Z in questo modo:


$$Z=\frac{A}{\sinh(\frac{\beta\hslash\omega}{2})}$$

Essendo $\sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$, per β → ∞ otteniamo:


$$Z\approx2\cdot A\cdot e^{-\frac{\beta\hslash\omega}{2}}$$

per cui $A=\frac{1}{2}$ ed $E_{0}=\frac{\hslash\omega}{2}$, in accordo con il noto valore dell’energia fondamentale dell’oscillatore:

In conclusione, per la funzione di ripartizione dell’oscillatore Z si ha:


$$Z=\frac{1}{2\cdot\sinh(\frac{\beta\hslash\omega}{2})}$$


  1. Landau V, $\S33$

  2. $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}\lambda x^{2}}dx=\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda}}$

(C) M. Andreoli