Consideriamo la funzione di ripartizione per una generica teoria di gauge:


$$Z=\langle e^{-\int d^{4}x\overline{\psi}(D+m)\psi}\rangle_{FG}$$

dove ho indicato con:


$$\langle\cdots\rangle_{F}=\int\mathfrak{D}\overline{\psi}\mathfrak{D}\psi\cdot(\cdots)\quad\langle\cdots\rangle_{G}=\int\mathfrak{D}A\cdot e^{-S_{G}}(\cdots)$$

rispettivamente l’integrazione sui campi fermionici ψ e quella sui campi Aμ.

L’azione dei campi di gauge è SG[Aμ]:


$$S_{G}=\frac{1}{2}\int d^{4}x\cdot Tr[F_{\mu\nu}^{2}]$$
con le solite notazioni:
$$\begin{aligned} F_{\mu,\nu} & = & \partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}+ig\cdot[A_{\mu},A_{\nu}]\\ A_{\mu} & = & \sum_{a}A_{\mu}^{a}\cdot T^{a}\end{aligned}$$

Ta sono le matrici di base per l’algebra del gruppo di Lie della teoria, soddisfacenti le condizioni di normalizzazione:


$$Tr[T^{a}T^{b}]=\frac{1}{2}\delta_{ab}\quad a,b=1\ldots N$$

L’operatore di Dirac euclideo D è:


$$D=D(A)=\slashed{\partial_{E}}+ig\cdot\slashed{A}=\gamma_{E}^{\mu}(\partial_{E}^{\mu}+ig\cdot A^{\mu}(x))$$

e le matrici di Dirac euclidee sono date da:


$$\gamma_{0}=\gamma_{E}^{4}\qquad\overrightarrow{\gamma}=-i\overrightarrow{\gamma_{E}}$$

L’integrazione sui campi ψ si può scrivere in forma chiusa usando le variabili di Grassmann, e il risultato è il determinante della parte quadratica della lagrangiana:


$$\langle e^{-\int d^{4}x\overline{\psi}(D+m)\psi}\rangle_{FG}=\langle|D(A)+m|\rangle_{G}=\langle e^{Tr[Ln[D+m]]}\rangle_{G}$$

Condensato chirale

Volendo calcolare il valore medio di una quantità come $\overline{\psi}\psi$, il sistema più semplice è derivare rispetto a m il logaritmo di Z, e dividere per il volume di normalizzazione V 1:


$$\langle\overline{\psi}\psi\rangle=\frac{1}{V}\cdot\frac{\partial Z}{Z\partial{(-m)}}=\langle\int\frac{d^{4}x\overline{\psi}(x)\psi(x)}{V}\rangle_{G}=-\frac{1}{V}\langle Tr[\frac{1}{D(A)+m}]\rangle_{G}$$

Essendo D = −iDM (dove DM è la versione minkowskyana) un operatore antihermitiano, i suoi autovalori sono immaginari puri (iλn), e la traccia si può calcolare esplicitamente:


$$\langle\overline{\psi}\psi\rangle=\frac{1}{V}\sum_{n}\frac{1}{i\lambda_{n}-m}$$

Introducendo $\rho(\lambda)d\lambda=\frac{dn}{V}$ come ”numero di autostati per unità di volume compresi in dk”, si ha:


$$\frac{1}{V}\sum_{n}\frac{1}{i\lambda_{n}-m}=\int\frac{\rho(\lambda)d\lambda}{i\lambda-m}=\int\frac{\rho(\lambda)\cdot(-i)\cdot d\lambda}{\lambda+i\cdot m}$$

Nel limite chirale (m → 0), possiamo usare la nota formula 2:


$$\frac{1}{x+i\epsilon}=\mathcal{P}\frac{1}{x}-i\pi\delta(x)\quad\epsilon\rightarrow0$$

con m = ϵ, e scrivere:


$$\langle\overline{\psi}\psi\rangle=\int\rho(\lambda)\cdot(-i)\cdot(-i\pi\delta(\lambda))d\lambda=-\pi\int\rho(\lambda)\delta(\lambda)d\lambda=-\pi\cdot\rho(0)$$

Il contributo di $\mathcal{P}\frac{1}{\lambda}$ (parte principale dell’integrale) è stato considerato nullo. Questo perchè, per questioni di simmetria traslazionale dello stato di vuoto, il numero di stati con impulso λ coincide con quelli con impulso λ e la funzione $\frac{\rho(\lambda)}{\lambda}$ risulta dunque dispari.

Sviluppo in serie

Sviluppo in serie per m → ∞:


$$\langle\overline{\psi}\psi\rangle=-\frac{1}{V}\langle Tr[\frac{1}{D(A)+m}]\rangle_{G}=-\frac{1}{mV}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{m^{k}}Tr[D^{k}]$$


  1. NB: il propagatore $\langle\psi\overline{\psi}\rangle$avrebbe segno opposto, dato che questi campi anticommutano

  2. vedi Landau, Fisica Cinetica

(C) M. Andreoli